在数学和科学中，非线性系统是输出的变化与输入的变化不成比例的系统。工程师、生物学家、物理学家、数学家和许多其他科学家对非线性问题很感兴趣，因为大多数系统本质上都是非线性的。非线性动力系统描述变量随时间的变化，与简单得多的线性系统相比，可能会显得混乱、不可预测或违反直觉。
通常，非线性系统的行为在数学中通过非线性方程组来描述，它是一组联合方程，其中未知数（或在微分方程的情况下的未知函数）表现为多项式的变量大于一或在不是一阶多项式的函数的参数中。换句话说，在非线性方程组中，要求解的方程不能写成未知变量或函数的线性组合出现在他们身上。无论方程中是否出现已知的线性函数，系统都可以定义为非线性的。特别是，如果一个微分方程在未知函数及其导数方面是线性的，则它是线性的，即使就其中出现的其他变量而言是非线性的。
由于非线性动力学方程难以求解，非线性系统通常用线性方程（线性化）来近似。这在输入值的某些精度和某些范围内效果很好，但是一些有趣的现象，例如孤子、混沌和奇异点被线性化隐藏了。因此，非线性系统的动态行为的某些方面可能看起来是违反直觉的、不可预测的甚至是混乱的。尽管这种混乱的行为可能类似于随机行为，其实不是随机的。例如，天气的某些方面被认为是混乱的，系统某一部分的简单变化会在整个过程中产生复杂的影响。这种非线性是当前技术无法进行准确的长期预测的原因之一。
定义
在数学中，线性映射（或线性函数）是同时满足以下两个性质的一种：
加法或叠加原理： 同质性：可加性意味着任何有理数的同质性，并且对于连续函数，意味着任何实数 α。
可加性和同质性的条件经常结合在叠加原理中
一个方程写成称为线性如果是线性映射（如上定义），否则为非线性映射。定义很笼统，可以是任何合理的数学对象（数字、向量、函数等），并且函数字面上可以是任何映射，包括具有相关约束（例如边界值）的积分或微分。
非线性代数方程
非线性代数方程，也称为多项式方程，是通过将多项式（次数大于一）等于零来定义的。例如。
对于单个多项式方程，可以使用求根算法来找到方程的解（即满足方程的变量的值集）。但是，代数方程组更复杂。他们的研究是代数几何领域的一个动力，代数几何是现代数学的一个困难分支。甚至很难确定给定的代数系统是否具有复解。然而，对于具有有限数量的复解的系统，这些多项式方程组现在已得到很好的理解，并且存在求解它们的有效方法。
非线性微分方程
如果一个微分方程组不是一个线性方程组，则称它是非线性的。涉及非线性微分方程的问题非常多样化，求解或分析方法取决于问题。非线性微分方程的例子是流体动力学中的Navier-Stokes 方程和生物学中的Lotka-Volterra 方程。
非线性问题的最大困难之一是通常不可能将已知解组合成新解。例如，在线性问题中，通过叠加原理，可以使用一组线性独立的解来构造一般解。一个很好的例子是具有狄利克雷边界条件的一维热传输，其解可以写成不同频率的正弦曲线的时间相关线性组合；这使得解决方案非常灵活。通常可以找到非线性方程的几个非常具体的解，但是缺乏叠加原理会阻碍新解的构建。
常微分方程
一阶常微分方程通常可以通过分离变量来精确求解，尤其是对于自治方程。例如，非线性方程
有作为通解（也作为特解， u = 0，对应于C趋于无穷时的通解的极限）。该方程是非线性的，因为它可以写成并且等式的左侧不是u及其导数的线性函数。请注意，如果将u 2项替换为u，则问题将是线性的（指数衰减问题）。
二阶和更高阶的常微分方程（更一般地，非线性方程组）很少产生封闭形式的解，尽管会遇到 隐式解和涉及非初等积分的解。
非线性常微分方程定性分析的常用方法包括：
检查任何守恒量，特别是在哈密顿系统中
类似于守恒量的耗散量检查（参见李雅普诺夫函数）
通过泰勒展开线性化将变量更改为更易于研究的内容
分岔理论微扰方法（也可以应用于代数方程）
对于某些非线性常微分方程，在特定条件下可能发生有限持续时间解的存在。
偏微分方程
研究非线性偏微分方程最常见的基本方法是改变变量（或以其他方式变换问题），以使产生的问题更简单（甚至可能是线性的）。有时，方程可能会转换为一个或多个常微分方程，如变量分离中所见，无论生成的常微分方程是否可解，这总是有用的。
在流体和热力学中经常出现的另一种常见（尽管数学较少）策略是使用尺度分析来简化某个特定边值问题中的一般自然方程。例如，在圆管中瞬态、层流、一维流动的情况下， （非常）非线性的 Navier-Stokes 方程可以简化为一个线性偏微分方程；尺度分析提供了层流和一维流动的条件，并且还产生了简化的方程。
其他方法包括检查特征和使用上述方法用于常微分方程。
